■セクション2
「損益分岐点という概念を理解するための数のセンス」
【問題】
ある工場である商品を作るために、作業費、材料費、作業電力料など直接的なコストが、１個あたり５０００円かかる。また、その商品を１つでも作る体制を維持するために、生産個数とは関係なく月に１４０万円のコストが常にかかる。コストはこの２種類だけである。一方、生産した商品は、営業部が確実に１個７０００円で引き取ってくれる。売れ残りや返品はないし、製造の失敗もない。この時、月にいくつ以上営業部からこの商品の引き合いがあれば、工場として黒字が出せるか。引き合いに見合う製造能力は十分にあるものとする。
（１）２００個 （２）２８０個 （３）７００個
●（３）を選んだ人：確信を持った計算で７００個とわかるなら、損益分岐点の基本は理解できている。ただしより複雑な場合に備え、発展解説を読んでほしい。
●それ以外を選んだ人：損益分岐点の基本を理解するため、基本解説を読んでほしい。
【基本解説】
損益分岐点というのは、ビジネスにおいて固定費と変動費という２種類のコスト要因がある場合に、常に考えなければならない問題である。固定費というのは今回の １４０万円」のように、少しでもその事業を行う限り必ず発生するコストのこと。 たとえば生産のラインを確保したり、設計の意図を理解しているリーダーを置いたりするための費用である。結果的にその月の受注（生産）がゼロでも、この費用は支払わなければならない。
一方、変動費というのは今回の「１個あたり５０００円」のように、実際に作るものに対して発生するコスト。実際には製造する商品の個数に比例するとは限らないのだが、この問題では簡単のために「１個あたり」という形の要因のみにした。そして 収入はもちろん、１個あたり７０００円である。
受注（生産）がゼロの場合、前述したとおり、１４０万円の固定費がかかる。変動費の方は、あくまで１個生産していくら、ということなので、この場合はかからない。 そして収入ももちろんゼロである。差し引き１４０万円の赤字だ。
受注（生産）が２０００個だったらどうだろう。１４０万円の固定費は同じ。しかし今回は変動費がかかる。１個作るのに５０００円だから、２０００個作るのに５０００円×２０００で１０００万円だ。合計でコストは１１４０万円。一方、収入の方は７０００円×２０００で１４００万円。差し引きで２６０万円の黒字となる。「１個あたり」の要因だけで考えれば２０００円ずつの利益があるのだから、受注（生産）がたくさんあれば、固定費をカバーした上で黒字が出るわけだ。しかし受注（生産）が少ないと、「１個あたり」では利益があっても、全体としては固定費に足を引っ張られて黒字にならない。その境目の受注（生産）数が損益分岐点である。
実際に損益分岐点を求めるには、受注（生産）数をｘなどと置いて方程式を解かなければならない。中学校で習う一次方程式というものである。受注（生産）数が０の場合と２０００の場合をすでに考えた。それを一般化すると、受注（生産）数がｘの時、コストは１４０万＋５０００×ｘ、そして売り上げは７０００×ｘである。１４０万＋５０００×ｘ ＞ ７０００×ｘとなるようなｘの場合は赤字、逆に１４０万＋５０００×ｘ ＜ ７０００×ｘとなるようなｘの場合は黒字というわけだ。
その境目というのは、次の一次方程式を満たすｘのことである。
１４０万＋５０００×ｘ ＝ ７０００×ｘ
左辺の５０００×ｘを右辺に移項する（つまり両辺から５０００×ｘを引く）と、１４０万 ＝ ２０００×ｘ
両辺を２０００で割ると、結局ｘ＝７００が得られる。
これは次のように考えてもよい。
固定費を除外すれば「１個あたり」７０００円から５０００円を引いて２０００円 の利益が出る。つまり受注（生産）が１個あれば、固定費１４０万円のうち、２０００円分はカバーできるわけだ。２個あれば４０００円分カバーできる。３個なら６０００円分だ。ならばいくつあれば１４０万円全体をカバーできるだろうか。それは１４０万÷２０００、つまり７００である。この割り算が、上記方程式を解く最後の計算と同じであるのは、偶然というわけではない。
【発展解説】
変動費が「１個あたり５０００円」、つまり受注（生産）数に比例するなら、結局、一次方程式で損益分岐点を求めることができた。実際のビジネスでは、変動費はもっと複雑である。
直接の材料費は、大量購入に伴う値引きといったことを無視すれば、確かに受注（生産）数に比例するといえるだろう。一方で工員人件費や機械使用料な
どは、受注（生産）数に比例するとまではいかないが、やはり数が増えればそれなりに増えていく、という性質を持つ。これらに関しては、受注（生産）数の平方根にほぼ比例するとか、受注（生産）数の対数にほぼ比例する、といったモデルが考えられるだろう。
どんな形になるにせよ、トータルのコストが受注（生産）数ｘの関数としてｆ（ｘ）などと表わされ、またトータルの収入が受注（生産）数ｘの関数としてｇ（ｘ）などと表わされるなら、
ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）
を満たすｘが損益分岐点になる。正確にいうなら、ｘがそれより小さいならｆ（ｘ）＞ｇ（ｘ）、ｘがそれより大きいならｆ（ｘ）＜ｇ（ｘ）、という条件つきでだが。
今回の問題の場合、
ｆ（ｘ）＝１４０万＋５０００×ｘ、ｇ（ｘ）＝７０００×ｘ
だったわけだ。
一方、工場ならばともかく、会社全体としての事業を考えるなら、毎月の固定費のほかに、初期固定費とでもいうべきものが存在する。ある商品を作って売るということなら、その商品の開発費やデザイン費のことだ。これはビジネスを開始するにあたって最初に必要だが、開始してしまえば毎月必要というわけではない。
たとえば会社全体として、ある商品の初期固定費が３０００万円、月々の固定費が２００万円、１個あたりのコストが６００円、売価が１０００円だとしよう。販売が見込める分だけ製造するので、売れ残る心配はないものとする。この場合は、毎月の製造（販売）数ｘだけを考えても意味がなく、その商品を何か月間売り続けけられるかも、全体として事業の収支を考える上で重要だ。その月数をｔとするなら、次のような式が成り立つ。
全体のコスト：３０００万＋（２００万＋６００×ｘ）×ｔ
全体の売り上げ：１０００×ｘ×ｔ
月々の損益分岐点は５０００個なので、販売数がそれを下回るようでは論外だが、それを上回ったとしても、ｔが短い、つまり商品の陳腐化が早い場合は、やはりトータルで利益がでない。仮に月々の販売数が８０００だとすると、ｘにそれを代入することで、コストは３０００万＋６８０万×ｔ、売り上げは８００万×ｔとなる。
両者を等しいと置くとｔ＝２５.つまり２年間以上事業が継続できて、初めてトータルで黒字ということになる。
ちなみに月々の販売数が６０００だとして同じような計算をすると、ｔの条件は一気に７５（つまり６年間以上）にまで高まってしまう。販売数が８０００から６０００に落ちると、初期費用の清算期間は３倍にもなる。このシビアな現実がわからないと、事業企画というものは上手くいかないのである。
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