■セクション3
「順列・組合せがきちんとわかるための数のセンス」
【問題】
ある会社がノートパソコンを売り出している。パソコンの本体の色は、白、黒、濃紺、シルバーの中から、客が好きなものを選ぶことができる。一方で、ＯＳ（ウィンドウズのような基本ソフト）は当然組み込まれているが、それ以外に７種類用意されている応用ソフトの中から、やはり客が好きなものを３個選んでつけてもらうことができる。この時、外側の色も応用ソフトの選択も完全に一致したものを一つのパターンと呼ぶとして、このパソコンにはいくつのパターンが考えられるか？
ただし、応用ソフトなし、あるいは１個または２個だけという選択は、考えないものとする。同じソフトを複数個選ぶという選択も考えない。
（１）１４０個 （２）４２０個 （３）８４０個
（１）を選んだ人：確信を持った計算で１４０個とわかるなら、順列・組合せの基本は理解できている。ただし組合せをより感覚的に把握していただくために、発展解説を読んでほしい。
それ以外を選んだ人：順列・組合せの基本を理解するため、基本解説を読んでほしい。
【基本解説】
順列や組合せなどをもう少し総称した概念として「場合の数」というものがある。何種類かの要因があって、その両方の状態が１つの「場合」を作り上げるような時、原則として「場合の数」は、それぞれの要因がとる状態の数を掛け合わせたものとなる。
これだけではわかりにくいので、普通の６面サイコロ（立方体）を考えよう。１つのサイコロがとる状態の数は、１、２、３、４、５、６の６通りである。ここでは、大小２つのサイコロを考えよう。「大きいサイコロが３で小さいサイコロが５」などというそれぞれのパターンを一つと考えた時、目の出方にはいくつのパターンがあるだろうか。
これが掛け合わせの原理であり、６（大きいサイコロの状態数）と６（小さいサイコロの状態数）を掛けて、３６というのが答となる。実際、大きいサイコロの目を算用数字で、小さいサイコロの目を漢数字で表わすとすると、すべてのパターンは以下のようになり、数えれば全部で３６通りとわかる。
１～一、１～二、１～三、１～四、１～五、１～六、２～一、２～二、２～三、２～四、２～五、２～六、３～一、３～二、３～三、３～四、３～五、３～六、４～一、４～二、４～三、４～四、４～五、４～六、５～一、５～二、５～三、５～四、５～五、５～六、６～一、６～二、６～三、６～四、６～五、６～六。
この問題の場合、本体の色は「４」通りである。したがってそれに応用ソフトの選び方の数を掛けてやれば、答が求まることになる。
応用ソフトの選び方というのは、７種類の中から異なる３つを選ぶということだ。問題文の最後に述べたように、２つ以下しか選ばないとか、同じソフトを２回以上選ぶ、といったことは考えない。７種類の中から異なる３つを選ぶ選び方。これがまさに「組合せ」という考え方である。
この「組合せ」の原理説明は非常に長くなるので、参考書などに譲る。高校の時に、確率を学ぶ前提として、順列や組合せを習ったと思うが、その教科書や参考書の「組合せ」のところで説明されているはずだ。筆者自身の本でいえば、『数字のホント？ウソ！』（加藤良平著、ＫＫベストセラーズ・ベスト新書）の１１６～１２２ページで詳しく解説してある。
それで結論だけいうと、７種類の中から異なる３つを選ぶ選び方は、３５通りである。あるいは「組合せ」の考え方に従って計算式だけ述べるなら、これは（７×６×５）÷（３×２×１）ということになる。これが実際に３５となることは、すぐに確かめられるだろう。
というわけで、本体の色の数「４」と、応用ソフトの組合せの数「３５」とを掛けた、「１４０」というものが求める答えとなる。
なお、本体の色と、応用ソフトの組合せ以外に、さらに別の選択がある場合、掛け算をその分だけ増やしていけばよい。たとえば、本体の色や応用ソフトなどとは関係なく、２種類のマウスＡ、Ｂから好きな方を選べるとしよう。それも含めたパターンの数は、４（本体の色の数）×３５（応用ソフトの組合せの数）×２（マウスの種類の数）で２８０通りということになる。サイコロの例でいえば、大中小３種類の立方体サイコロがあるなら、３つを振った時の出方は６（大サイコロの状態数）×６（中サイコロの状態数）×６（小サイコロの状態数）で２１６通りということになる。
【発展解説】
まったく同じように考えて、たとえば色の数が５通りで、用意されている応用ソフトの種類が６つ（その中から３つを選ぶ）ならどうなるか。６種類の中から異なる３つを選ぶ選び方は、（６×５×４）÷（３×２×１）で２０通りなので、全体のパターン数としては、５×２０すなわち１００通りということになる。
逆に、色の数が３通りで、用意されている応用ソフトの種類が８つ（その中から３つを選ぶ）ならどうなるか。８種類の中から異なる３つを選ぶ選び方は、（８×７×６）÷（３×２×１）で５６通りなので、全体のパターン数としては、３×５６すなわち１６８通りということになる。
ほかの場合も含めて表にまとめると、次のようになる。
これからわかるように、色の種類が増えると、全体のパターン数は、それに正比例する形で増えていく。しかし応用ソフトの数が増えると、それよりはるかに勢いよく増える。よく「組合せ論的にどんどん増えていく」などという言葉が使われるが、それはこういうことだ。
もしあなたがこのパソコンの販売促進担当者で、「お客様が選べるパターンの数が多い」ということをセールスポイントにしたいのなら、外側の色のバリエーションを増やすより、用意しておく応用ソフトの数を増やすことで、一層強力なアピールができることになる。
逆にもしあなたがこのパソコンのお客様ご相談窓口の担当者で、あらかじめすべてのパターンに対して対処職務分掌マニュアルを準備しておかなければならないのなら、応用ソフトの数が増えることで準備が飛躍的に大変になることを覚悟しておかなければならない。
講師／著者：加藤 良平 講師プロフィール
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