■セクション6
「利子という概念を体得するための数のセンス」
【問題】
ある会社において、資金はその額にかかわらず、年間に６パーセントの利益を生み出すものとする。たとえば２０１１年１月１日に１０００万円の資金があれば、それは２０１２年１月１日に１０６０万円になる、ということである。
この会社が、２０１１年１月１日に、別のある会社に、以下のような条件である商品を譲渡した。
・２０１１年１月１日に１００万円支払ってもらう。
・それとは別に２０１２年１月１日にも１００万円支払ってもらう。
・それらとは別に２０１３年１月１日にも１００万円支払ってもらう。
これで支払いは完了する。
この時、消費税は無視するとして、２０１１年１月１日における商品譲渡価格はいくらと考えるのが適当か。
（１）２８２．３６万円
（２）２８３．０２万円
（３）２８３．３４万円
（３）を選んだ人：確信を持った計算で２８３．３４万円とわかるなら、利子（逆にいえば現在価値への換算）の基本は理解できている。ただし参考までに、発展解説を読んでほしい。
それ以外を選んだ人：利子（現在価値への換算）の基本を理解するため、基本解説を読んでほしい。
【基本解説】
表面上、支払ってもらう額の合計は３００万円である。しかしそのうちの１００万円は１年後の支払いであり、別の１００万円は２年後の支払いである。「明日の百円より今日の五十円」ということわざがある。それは極端であるにせよ、１年後に支払われるはずの１００万円には、現時点で１００万円の価値はない、と考えるのが自然だろう。実際この会社の場合、今すぐ１００万円あれば、それは一年後には１０６万円になっているはずなのである。
つまりこの問題の場合、その場で３００万円もらう（その場合は商品譲渡価格３００万円）のに比べて、少ない見返りで、つまり安く、商品を譲渡したことになる。
今の１００万円は来年には６万円増えるのだから、逆に来年の１００万円は今でいえば６万円差し引いた金額であり、さ来年の１００万円は今でいえば１２万円差し引いた金額。そう考えると、２０１２年１月１日支払い分で６万円引き、２０１３年１月１日支払い分で１２万円引く。つまり合計１８万円を差し引いた「２８２万円」が答になってしまう。しかしこれは単利と複利を混同した、あまりに初歩的な誤りである。
５割引（半値）のそのまた５割引が１０割引（ ）にはならないのと同じで、もし１年後に６パーセント引き（９４パーセント）になるなら、２年後には０．９４×０．９４＝０．８８３６すなわち１１．６４パーセント引きとなるはずだ。それで計算すると、１００万＋１００万×０．９４＋１００万×０．９４×０．９４であり、これを計算すると２８２．３６万円となる。これは答（１）だ。ここには単利と複利の混同はない。
しかしそれでもこの答は誤っている。「今の１００万円は来年には１０６万円なのだから、逆に来年の１００万円は今でいえば９４万円」という考え方が、そもそも誤りなのである。実際、今の９４万円は、１年たっても、９４万×１．０６＝９９．６４万円にしかならない。つまり来年の１００万円は今でいえば、１００を１．０６で割った約９４．３４万円と考えるべきなのである。
この問題の場合、１００万円をすぐに、別の１００万円を１年後に、そして別の１００万円を２年後に、それぞれ払ってもらうわけである。ということは平均１年後ということだからそれで統一し、先ほどの約９４．３４万円に３を掛けて２８３．０２万円。これが答（２）だ。
しかしこれも誤り。０年後（すぐ）と１年後と２年後という３つの数字の平均は確かに１だが、複利の利子を考える時に、年数の方を先に平均してはいけない。
というわけで、もっと地道に計算しなければならない。すぐに支払われる１００万円はそのまま１００万円。１年後に支払われる１００万円は、１００万÷１．０６で９４．３４万円。そして１年後に支払われる１００万円は、１００万÷１．０６÷１．０６で８９．００万円。それらを足した２８３．３４万円すなわち（３）が正しい答ということになる。
このように、未来に発生するであろう収入や支出を、現在の金額に割り引くことというのは、企業や不動産の価値を評価する上で、非常に重要なことである。「金融機関の利子とは違うじゃないか」と思うかもしれないが、今回の問題でいえば、１年で６パーセントという値が、まさに利子の役割を果たすのである。
【発展解説】
もっと地道に計算しなければならない。基礎解説の中でそう述べた。もし２０１１年１月１日から２０２０年１月１日まで、１０回に分けて１００万円ずつ支払われるのならどうだろう。これも考え方の基本は同じである。すぐに支払われる分は１００万円。１年後支払いの分は１００万円÷１．０６。２年後支払いの分は１００万円÷１．０６÷１．０６。３年後支払いの分は１００万円÷１．０６÷１．０６÷１．０６。そして３年後支払いの分は、１００万円を１．０６で９回割った金額だ。
これらをすべて地道に計算することくらいなら、根性で頑張ればできるかもしれない。しかし１００回の均等分割だったら？１０００回の均等分割だったら？
実は数学的な正しさを保った上で、こういった「地道な計算」は回避できる。高校の数学で「数列」や「級数」を学んだ場合、まさにその公式が使えるのだが、覚えている人は少ないだろう。
たとえば１０回の均等分割であれば、計算したいものは以下の数字である。
１００万（すぐ支払い分） ＋ １００万÷１．０６（１年後支払い分） ＋ １００万÷１．０６÷１．０６ （２年後支払い分）＋ １００万÷１．０６÷１．０６÷１．０６（３年後支払い分） ＋ ・・・（４・・・８年後支払い分） ＋ １００万÷１．０６÷１．０６÷１．０６÷１．０６÷１．０６÷１．０６÷１．０６÷１．０６÷１．０６（９年後支払い分）。
さて１．０６で割るということは、１．０６の逆数すなわち0.9433962を掛けることに相当するが、その値を簡単のためにｒと書こう。また「１００万」という数字は共通なのでくくりだすことにすると、結局次の数を求めればよいことになる。
１００万×（１＋ｒ＋ｒ**２＋ｒ**３＋・・・＋ｒ**９）
ただしｒ**２とはｒの２乗、ｒ**３とはｒの３乗、・・・、ｒ**９とはｒの９乗のことである。この数式の中のカッコ内が級数と呼ばれるもので、これはその部分の教科書に出てきたはずだが、以下のように変形できる。
1＋ｒ＋ｒ**2＋ｒ**3＋・・・＋ｒ**9＝（1-ｒ**10）÷（1-ｒ）
ｒ＝１÷１．０６として右辺を計算すると、7.80177である。つまり１０回の均等分割の現在割引価格は、これに１００万を掛けた、780.17万円ということになる。名目的な受け取り金額は１０００万円だから、やはり現在価値としてはかなり小さくなっていることがわかる。
ちなみに１００回の均等分割の現在割引価格は、１７６１．４６万円であり、名目的な受け取り金額１億円を大きく下回っている。
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