■セクション7
「対人関係のかけひきを適切に行える数のセンス」
【問題】
Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅの５人でジャンケンを行い、最終的に負けた一人は、何らかの当番をしなければならない。誰もできることなら当番にはなりたくない。「最終的に負ける」とは、途中で複数の人が負けた場合、それ以後は負けた人の中で再度ジャンケンをしていく（勝った者抜け）、ということだ。また、いわゆる「後出し」は誰もできない。この時、普通ならそれぞれの人が当番をしなければならない可能性は等しく、１／５である。
さてこの勝負で、ＡとＢとがひそかに結託していたとしよう。つまりＡとＢとは、残りの３人に気づかれないように、お互い何を出すか、事前に示し合わすことができる。ただしもちろん、ほかの人が何を出してくるかはわからない。またＡとＢ以外に、結託はない。この時、ＡとＢはうまく結託することで、それぞれの当番可能性を、どの程度にまで減らすことが可能だろうか。
（１）１／１０ （２）１／８ （３）１／６
（２）を選んだ人：確信を持った計算で１／８とわかるなら、かけひきの数的センスはかなりあるといえそうだ。ただし参考までに、発展解説を読んでほしい。
それ以外を選んだ人：かけひきの数的センスの基本を理解するため、まずは基本解説を読んでほしい。
【基本解説】
こういった結託はいわば談合であり、もちろん正当なものではない。あくまでジャンケンにおけるかけひきの最適戦略ということで考えてほしい。なお、結託の話は出てこないが、ジャンケンや多数決に関するさまざまなコツやかけひきの話題を中学生程度向けに解説した、次の本があるので参考にしてほしい。
■加藤良平著『多数決とジャンケン／ものごとはどうやって決まっていくのか』（講談社）
この基本解説では、説明はやや直感的なもの（数学的に厳密でないもの）にとどめる。ＡとＢは、ほかのＣやＤやＥが何を出すのかはわからないので、取れる作戦としては、「同じものをだすか、違うものをだすか」を決めることである。もっとも違うものを出す場合、どちらが勝つほうを出すかという問題も残るが、これは交互に、あるいは半々の確率で、ということでいいだろう。
このように「当番」（「罰ゲーム」といってもいい）を一人だけ決めるような場合、何を出せば勝てるかはもちろんわからない。しかし同じ負けるのなら、大人数で負けた方がよい。たとえば最初の一回で、自分だけがグーで残り全員がパーだったら、その時点で自分が当番と決まってしまう。しかし同じ負けでも、自分を含む４人がグーで残り一人がパーだったら、負けた４人で再ジャンケンとなるわけだから、最終的に当番となる危険がずっと緩和される。
そう考えると、ＡとＢとしては、ＣやＤやＥに勝てるかどうかはわからないにせよ、とりあえず同じものを出しておいた方が安全ということだ。そしてその作戦を最後まで貫いたとしよう。つまりＡとＢは、示し合わせて必ず相互に一緒の何かを出すのである。そうするとジャンケンは、事実上４者でやるのと同じことになる。したがってＡおよびＢが、最後に負け残る可能性は、１／４となる。逆にいえば残りの３／４では、ＡもＢも勝ち抜けの側に回れるということである。ＡとＢが負け残ったら仕方ないので、あとは二人で普通にジャンケンをする。そこで最終的に負ける可能性は半々なので、結局ＡもＢも、結託することで１／８の可能性で当番をすることになる。結託がなければ可能性は１／５だから、かなり軽減されたことになる。
ただしどんな場合でも同じものを出すようにした方がよい、というわけではない。ジャンケンで決めるのが、「当番」ではなく、「褒美」だったとしよう。つまり最終的に勝った一人は、当番などでなく嬉しいものが当たるという場合である。この場合は、どうせ勝つなら、少人数（できれば最初から一人だけ）で勝つ方がよい。つまりＡとＢは、示し合わせて異なるものを出すのが合理的な作戦、ということになる。
【発展解説】
まずは数学的な厳密さにこだわる人向けに。最初の一回のジャンケンで、ＡとＢが結託して同じものを出した場合（話を簡単にするため、再ジャンケンになってもそれ以降は結託しないとする）の効果を、実際に計算してみた。その作戦で最終的にＡやＢの当番が回ってくる確率は、それぞれ９７／５４０となった。
結託がまったくなければ、確率は１／５つまり１０８／５４０だから、結託効果により実際に小さくなっている（当番を避けやすい）ことが分かる。つまり同じものを出すのは有利な作戦である。実際には再ジャンケンでも同じものを出すようにすれば、当番を逃れる確率はさらに上がる。これは５人でなく４人や３人でやる場合も同じことであり、それゆえ「基本解説」のやり方が最適戦略と、数学的に言い切れるわけである。
ちなみに同じものを出す作戦とは逆に、最初の一回に限り、ＡがパーでＢがグーを出すように示し合わせたとする（残り３人はそのことを知らない）と、Ａが最終的に当番になる確率は７６／５４０、Ｂが最終的に当番になる確率は１５１／５４０となる。７６と１５１の平均（１１３・５）は１０８より大きいから、やはり別のものを出す作戦は損ということになる。逆に「褒美決め」なら、別のものを出すのは有利になる。
もう一つ、補足がある。たとえばＡとＢの２人でなく、Ａ、Ｂ、Ｃの３人が、Ｄ、Ｅの知らないところで結託していたとしよう。この場合、「当番決め」なら、３人が同じものを出すことで、それぞれの当番確率は１／９にまで減らせる。しかしＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄの４人が結託したとすると、それぞれの当番確率は１／８と再上昇してしまう。必ずしも大人数で結託した方がよい、というわけではないのである。
最後に難しい問題。「当番決め」ではなく「褒美決め」ジャンケンの時に、Ａ、Ｂ、Ｃの３人が、Ｄ、Ｅの知らないところで結託するとしたら、どうするのが有利だろうか。これは直感的に、Ａ、Ｂ、Ｃ（順不同）の中で、「グー・グー・チョキ」や「チョキ・チョキ・パー」や「パー・パー・グー」のいずれかを出すのが最善のはずだ。つまりＤやＥに対して、「少なくともオイシイ形（少人数）では勝たせてやらない」という戦略である。仮に最初の一回のみそういう作戦を取った（再ジャンケン以降は普通にやる）場合、ＤやＥが最終的に褒美をとれる確率はそれぞれ、本来の１／５（１０８／５４０）ではなく、９５／５４０に減少してしまう。再ジャンケンでもその作戦を継続されたら、さらに低くなるはずだ。
講師／著者：加藤 良平 講師プロフィール
『多数決とジャンケン／ものごとはどうやって決まっていくのか』
加藤良平著／講談社／本体1200円
■子どもの視線で、多数決、選挙、ジャンケン、くじびきなどの仕組みやコツ、
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